UM POUCO DE HISTÓRIA
“... A utilização da palavra ‘potência’, no contexto da matemática, é atribuída a Hipócrates de Quio (470 a.C.), autor que escreveu o primeiro livro de geometria elementar do qual, provavelmente, os Elementos de Euclides recolheram uma importante inspiração. Hipócrates designou o quadrado de um segmento pela palavra dynamis, que significa precisamente potência. Existem motivos para se crer que a generalização do uso da palavra potência resulte do fato dos Pitagóricos terem enunciado o resultado da proposição I.47 dos Elementos de Euclides sob a forma: “a potência total dos lados de um triângulo retângulo é a mesma que a da hipotenusa”.
Portanto, o significado original de “potência” era potência de expoente dois, somente passadas algumas décadas se conceberam potências de expoente superior (Ball, 1960). Arquimedes (250 a.C.) no seu livro Contador de areia pretendia determinar o número de grãos de areia necessários para encher o universo solar, o que para ele consistia numa esfera tendo a Terra como centro e a sua distância ao Sol como raio. Obteve a solução 1051 que não podia ser escrita na numeração utilizada na altura (alfabética), uma vez que apenas permitia escrever números até 10.000 (uma miríade).
Arquimedes criou então um novo sistema: considerou os números de 1 a 10 8 , ou seja, até uma miríade de miríade, que se podiam escrever na numeração grega como sendo de primeira ordem; depois, os números de 108 até 10 16 como sendo de segunda ordem, em que a unidade é 108, e assim, sucessivamente (Boyer, 1989). Arquimedes utilizou deste modo, uma regra equivalente à propriedade da multiplicação de potências com a mesma base: 1051 =103 .108 .108 .108 .108 .108 .108 .... ”.
Portanto, o significado original de “potência” era potência de expoente dois, somente passadas algumas décadas se conceberam potências de expoente superior (Ball, 1960). Arquimedes (250 a.C.) no seu livro Contador de areia pretendia determinar o número de grãos de areia necessários para encher o universo solar, o que para ele consistia numa esfera tendo a Terra como centro e a sua distância ao Sol como raio. Obteve a solução 1051 que não podia ser escrita na numeração utilizada na altura (alfabética), uma vez que apenas permitia escrever números até 10.000 (uma miríade).
Arquimedes criou então um novo sistema: considerou os números de 1 a 10 8 , ou seja, até uma miríade de miríade, que se podiam escrever na numeração grega como sendo de primeira ordem; depois, os números de 108 até 10 16 como sendo de segunda ordem, em que a unidade é 108, e assim, sucessivamente (Boyer, 1989). Arquimedes utilizou deste modo, uma regra equivalente à propriedade da multiplicação de potências com a mesma base: 1051 =103 .108 .108 .108 .108 .108 .108 .... ”.
“...Uma das primeiras referências à operação de potenciação encontra-se num papiro egípcio que remonta ao final do Império Médio (cerca de 2100 a 1580 a.C.). Ao ser ali apresentado o cálculo do volume de uma pirâmide quadrangular, é usado um par de pernas como símbolo para o quadrado de um número (Ball, 1960). A noção de potência era, também, conhecida dos babilônios. Recordando o seu sistema de numeração sexagesimal, observe-se o conteúdo de uma antiga tabuinha babilônica de argila conhecida como a tabuinha de Larsa e a respectiva tradução (Fauvel, 1987, p. 22):
Figura - Placa de Larsa (Extraído de Fauvel, 1987).
Em outras tábuas antigas encontraram-se tabelas contendo as potências sucessivas de um dado número. Estas eram utilizadas para resolver certos problemas de astronomia e de operações comerciais, tais como: Quanto tempo levará a duplicar certa quantia de dinheiro, a uma taxa anual de 20 %? ... ”
Fonte: Oliveira, H., & Ponte, J. P. (1999). Marcos históricos no desenvolvimento do conceito de potência. Educação & Matemática, 52, 29-34.
A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.
Temos que, (+2).(+2).(+2)=(+2)3
Na potência (+2)3 = +8, temos:
(+2) = Base
3 = Expoente
+8 = Potência
Para os números inteiros relativos, temos:
1) Bases positivas
Vamos ver quanto vale (+3)2
(+3)2 = (+3) . (+3) = +9
E quanto vale (+5)4 ?
(+5)4 = (+5) . (+5). (+5) . (+5) = +625
Observação: Toda a potência de base positiva é sempre positiva.
2) Bases negativas
E agora, quanto vale (-3)2?
(-3)2 = (-3) . (-3) = +9
E quanto vale (-2)3 ?
(-2)3 = (-2) . (-2). (-2) = -8
Observação:
Toda potência de base negativa é positiva, se o expoente for par, e é negativa, se o expoente for impar.
PROPRIEDADES DA POTÊNCIA
I) Toda potência de base 1 é igual a 1.
Exemplos:
12 =1
16 =1
10 =1
1100=1
1n =1
II) Toda potência de expoente 1 é igual à base.
Exemplos:
21 = 2
31 = 3
51 = 5
01 = 0
a1 = a
III) Toda potência de expoente zero vale 1.
Exemplos:
10 = 1
20 = 1
500 = 1
a0 = 1 com a diferente de zero.
IV) Toda potência de base igual a zero e expoente diferente de zero, vale zero.
Exemplos:
01 = 0
03 = 0
05 = 0
0n = 0 com n diferente de zero
V) Toda potência de base 10 é igual a 1, seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente.
Exemplos:
101 = 10
102 = 100
103 = 1000
OPERAÇÕES COM POTÊNCIAS:
I) Multiplicação de potências de mesma base.
23 . 22 = 23+2 =25
Conserva-se a base e somam-se os expoentes.
Vejamos mais alguns exemplos:
a) 25 . 23 = 25+3 =28
b) 37 . 32 = 27+2 =39
c) 32 . 3 = 32+1 =33
II) Divisão de potências de mesma base:
23 ÷ 22 = 23-2 = 2
Conserva-se a base e subtrai-se do expoente do dividendo o expoente do divisor.
Vejamos outros exemplos:
a) 25 ÷ 22 = 25-2 = 23
b) 74 ÷ 73 = 74-3 = 7
c) 93 ÷ 92 = 93-2 = 9
III) Potência de potência:
( 22 )3 = 22.3 = 26
Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes.
Vejamos outros exemplos:
a) (34 )2 = 34.2 = 38
b) (25 )2 = 25.2 = 210
c) (34 )1 = 34.1 = 34
IV) Produto elevado a uma potência:
(3 . 5 )2 = 32 . 52
Eleva-se cada fator à potência considerada, ou efetua-se a multiplicação e eleva-se o resultado à potência considerada.
(3 . 5 )2 = 152
Vejamos mais alguns exemplos:
a) (2 . 7 )3 = 23 . 73
b) (2 . 3. 4 )5 = 25 . 35. 45
c) (8 . 5 )4 = 84 . 54
1º exemplo:
Termos da potenciação:
Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 ÷ 126 ficaria da seguinte forma:
128 ÷126 = 429981696 : 2985984 = 144
Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada. Veja como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes.
128 ÷ 126 = 128 – 6 = 122 = 144
(-5)6 ÷ (-5)2 = (-5)6 – 2 = (-5)4 = 625
DETERMINAÇÃO DE POTÊNCIA:
Sabemos que ao somarmos parcelas iguais, estamos de fato, fazendo multiplicações. Assim podemos concluir que a determinação da potência de um número é feita pela multiplicação de fatores iguais. Consideremos os seguintes exemplos com produtos de fatores iguais:
Exemplos:
1º exemplo:
Termos da potenciação:
Base=2
Expoente = 4
Potência = 16 [Resultado da operação]
Lê-se: Dois elevado à quarta potência.
2º exemplo:
53 = 5.5.5= 125 (3 fatores iguais)
Termos da potenciação:
Base=5
Expoente = 3
Potência = 125 [Resultado da operação]
Lê-se: Cinco elevado à terceira potência.
3º exemplo:
35 = 3.3.3.3.3 (5 fatores iguais)
Este produto de 5 fatores iguais ao número 3 pode ser expresso da seguinte forma 35, onde 3 é chamado de base e indica o fator que está sendo repetido, e 5 é chamado de expoente e indica a quantidade desses fatores, e lido da seguinte maneira:
3 elevado à 5a potência, ou a 5a potência de 3. Então: 3.3.3.3.3=35
Termos da potenciação:
Base=3
Expoente = 5
Potência = 243 [Resultado da operação]
EXPLICANDO ALGUMAS PROPRIEDADES.
A potenciação além de economizar nosso trabalho para calcular grandes números, também economiza na escrita.
Vamos ver os seguintes exemplos para entender melhor:
1º ) Produto de potências de mesma base.
Note que é necessário escrever muitas vezes o número 1 para determinar a potência de 115 .
Esta foi fácil, pois sabemos das definições que 1n=1
(3.3.3).(3.3).(3.3)=33. 32. 32 =33+2+2=37=2187
(3.3.3)=33
(3.3)= 32
(3.3)= 32
Note que 37= (3.3.3.3.3.3.3) =2187
Três elevado à sétima potência.
Para escrever o produto de potências de mesma base, mantemos a base e somamos os expoentes
2º ) Potência de potência.
(22)3 = 22 . 22 . 22 = 22+2+2= 26 = 64
(22)4 = 22 . 22 . 22 . 22 = 22+2+2+2= 28 = 256
Para escrever a potência elevada a outro expoente, mantém-se a base e multiplicam-se os expoentes.
3º ) Quociente de potências de mesma base.
Sem utilizar dessa propriedade, o cálculo do quociente com potência 128 ÷ 126 ficaria da seguinte forma:
128 ÷126 = 429981696 : 2985984 = 144
Utilizando a propriedade do quociente de mesma base, a resolução ficaria mais simplificada. Veja como nessa divisão as bases são iguais, basta repetir a base e diminuir os expoentes.
128 ÷ 126 = 128 – 6 = 122 = 144
(-5)6 ÷ (-5)2 = (-5)6 – 2 = (-5)4 = 625
Para escrever o quociente de potências de mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes.
Observação: Quociente significa o resultado de uma divisão
Fonte: matematica-na-veia.
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